関数 f(x) = x^3 が x = a で連続であることを示してみましょう。この関数は、すべての x に対して定義されているのは明らかですので、目標は、
という条件を示すことです。そのために、最後の不等式 | \, f(x) \, - \, f(a) \, | < \varepsilon に注目して、この不等式が成り立つような x の範囲を探します。
| \, f(x) \, - \, f(a) \, | = | \, x^3 \, - \, a^3 \, | = | \, x \, - \, a \,| | \, x^2 \, + \, xa \, + \, a^2 \,|であるから、 |x \, - \, a| | x^2 + xa + a^2 | < \varepsilon が成り立つような x の範囲を求めましょう。ここでは、 x が a に近いと仮定して、 | x^2 + xa + a^2 | は 3a^2 に近いと考えます。よって、 x が a に近いとき、
| \, x^2 \, + \, xa \, + \, a^2 \, | < 3a^2 \, + \, 1
であると考えれば十分でしょう。上の式で、 1 を加えたのは余裕をもたせるためであって、加える正の数は 1 である必要はありません。例えば、 4 でもかまいません。このとき、
| x \, - \, a | < \frac{\varepsilon}{3a^2 + 1 }
ならば
が成り立ちます。これは、 | x^2 + xa + a^2 | < 3a^2 + 1 という不等式を使って得られた結果です。しかし、 x がどの程度 a に近いときに、この不等式が成り立つのかは未だわかりません。そこで、仮に | x \, - \, a | < \rho としてみます。このとき、 x は a を中心とする半径 \rho の円（区間）の内部にあるので、 |x| < |a| + \rho が成り立ちます。よって、
\begin{array}{l} |x^2 + xa + a^2| \leq |x^2| + |xa| + |a^2| \\[2ex] \ \ \ \ < (|a| + \rho)^2 + |a|(|a| + \rho) + a^2 \\[2ex] \ \ \ \ = |a|^2 + 2 |a| \rho + \rho^2 + |a|^2 + |a| \rho + a^2 \\[2ex] \ \ \ \ = 3a^2 + 3|a|\rho + \rho^2 \end{array}となります。さらに、 \rho \leq 1 であれば、 \rho^2 \leq \rho ですから、上の不等式は
\begin{array}{l} |x^2 + xa + a^2| < 3a^2 + 3|a| \rho + \rho^2 \\[2ex] \ \ \ \ \leq 3a^2 + 3|a| \rho + \rho \\[2ex] \ \ \ \ = 3a^2 + (3|a| + 1) \rho \end{array}のようになります。したがって、 (3|a| + 1) \rho \leq 1 をみたすように正の数 \rho を十分小さくとっておけば、 \rho < 1 が成り立ちますので、 | x \, - \, a | < \rho ならば | x^2 + xa + a^2 | < 3a^2 + 1 となります。とくに、 \rho = \displaystyle\frac{1}{3|a|+1} の場合を考えると、 | x \, - \, a | < \displaystyle\frac{1}{3|a|+1} ならば | x^2 + xa + a^2 | < 3a^2 + 1 となります。以上より、 | x \, - \, a | < \frac{\varepsilon}{3a^2 + 1 } \ \ \ かつ \ \ \ | x \, - \, a | < \displaystyle\frac{1}{3|a|+1} ならば | \, f(x) \, - \, f(a) \, | < \varepsilon となることがわかります。そこで、任意の正の数 \varepsilon に対して、
\delta(\varepsilon) = \min\left( \frac{\varepsilon}{3a^2 + 1}, \ \displaystyle\frac{1}{3|a|+1} \right)と定めます。このとき、 | x \, - \, a | < \delta(\varepsilon) ならば | x \, - \, a | < \displaystyle\frac{1}{3|a|+1} より | x^2 + xa + a^2 | < 3a^2 + 1 であり、
\begin{array}{l} | f(x) \, - \, f(a) | = | x \, - \, a| |x^2 + xa + a^2| \\[2ex] \ \ \ \ < | x \, - \, a| (3a^2 + 1) \\[2ex] \ \ \ \ \leq \delta(\varepsilon) (3a^2 + 1) \\[2ex] \ \ \ \ = \displaystyle\frac{\varepsilon}{3a^2 + 1} \cdot (3a^2 + 1) = \varepsilon \end{array}が成り立ちます。したがって、 f(x) = x^3 は x = a で連続であることがわかります。
